Comprendre la construction de l'ellipse

(et autres coniques)

 

La construction de l'ellipse est basée sur l'apparition du lieu de tous les points dont la somme des distances aux foyers F1 et F2 est constante. Cette courbe apparaît en rouge sur la figure ci-dessous.

Faites varier les paramètres suivant dans la figure:

- La longueur du rayon R du cercle S.

- La distance relative des deux foyers F1 et F2.

En fonction de ces paramètres, vous obtiendrez un cercle, une ellipse ou une hyperbole en rouge. Faites glisser le point T autour du cercle S pour voir le point P suivre le lieu décrivant la conique dessinée.

Contexte

Titre de l'activité : Les paramètres du cercle

Description

L’animation Cabri-Géomètre permet une visualisation des lieux géométriques nommés ellipse, hyperbole et cercle. Ainsi, on comprend mieux leurs constructions.
Le but de l'activité
S’attarder à comprendre le concept d’ellipse et sa construction.
L'objectif du curriculum
Décrire un lieu géométrique et déterminer la figure qui lui correspond.
(MÉQ, mathématiques 526-536, objectif intermédiaire 1.4)
La compétence visée

Chercher, par observation ou par exploration, la figure correspondant aux points satisfaisants à la définition du lieu.
(MÉQ, mathématiques 526-536, objectif terminal 1.4)

Le niveau scolaire 5ème secondaire
La durée estimée de l'activité intégrant l'OA
Variable selon l’option choisie, l’option C est de plus longue haleine. 10 à 15 minutes.
L'URL rejoignant l'OA en question

http://www.telelearning-pds.org/copains/math/ellipse1/ellipse1.html

Le matériel
Option A : Ordinateur et canon, Internet ou Cabri-Géomètre
Option B et C : Laboratoire informatique, Internet ou Cabri-Géomètre
Détails pour la réalisation
Une introduction pour les élèves
Afin de susciter l’intérêt des élèves, il est pertinent de présenter l’ellipse comme élément de notre réalité. Aussi, la coupe transversale et inclinée d’un cône est une démonstration visuelle qui confirme son existence.
Les instructions et les règles pour faire l'activité
Voici 3 options d’utilisation de l’OA. :
A) L’enseignant présente sur grand écran la simulation en question. D’abord de manière statique pour définir clairement toutes les composantes de l’OA. Ensuite, il demande aux élèves de le diriger dans le déplacement de certaines composantes (les vertes sont mobiles). Toujours par questionnement, l’enseignant tente d’amener les élèves à la définition de l’ellipse.
B) Les élèves, seuls ou en petites équipes, font face à l’OA. Suite à une période d’exploration, ils devront énoncer leurs diverses observations sur l’OA tant en position statique, que dynamique. Ensuite, ils choisissent d’imprimer une version de l’OA en expliquant leur choix. Finalement, ils élaborent une définition de l’ellipse.
C) Les élèves tentent de reproduire une ellipse réelle en prenant l’OA comme support intermédiaire. Ils doivent déterminer les bons paramètres ainsi que le rapport de similitude nécessaire pour construire l’ellipse réelle.
Exemple d’activité en contexte réel : Orbite de la lune.
Les buts recherchés (ce qu'on veut obtenir des élèves après l'activité: un rapport, une discussion en plénière, etc.)
Se questionner à propos des composantes géométriques de base. Seules les notions de points et de distances peuvent définir les figures géométriques. Développer une compréhension personnelle de l’ellipse comme le lieu des points dont la somme des distances aux foyers est constante.
Le retour sur l'activité avec les élèves (des questions ouvertes et des hypothèses à explorer)
A et B) L’enseignant demande aux élèves de représenter une ellipse en identifiant toutes les composantes nécessaires à sa construction.
C) Les élèves doivent déterminer les rôles des composantes d’une ellipse en contexte réel.
Des possibilités d'expansion ou d'adaptation (recommandations à l'enseignant pour utiliser autrement l'activité ou conjointement avec d'autres OA pour pousser plus loin les objectifs)
Algébriquement parlant, on peut situer l’ellipse dans le plan cartésien et définir la relation entre ses abscisses et ses ordonnées. Le modèle de cette relation étant x2/a2 + y2/b2 = 1 où a et b sont les mesures du grand et du petit axe de l’ellipse respectivement.
Contextes réels Orbites du Soleil et de la Lune, piste de course, construction d’objets, réflexions d’ondes lumineuses ou sonores (lithotritie), table de billard elliptique, etc.


Commentaires :
Attention une ellipse réelle ne peut être aussi parfaite que la définition du concept d’ellipse. L’observation ou l’utilisation d’ellipse s ne sont que des représentations plus ou moins précises.

 

 

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